Получать уведомления о смене профиля пользователя полезно в двух случаях.  В первом случаи вы всегда знаете, кто из пользователей у вас активный и какие у него данные поменялись, а во втором случаи вы узнаете, если перед взломом сайта был изменен пароль, что даст вам с большей вероятностью понять через какой аккаунт был взломан сайт и сменить в нем пароль на более строгий. 

function user_profile_update( $user_id ) {
        $site_url = get_bloginfo('wpurl');
        $user_info = get_userdata( $user_id );
        $to = $user_info->user_email;
        $subject = "Profile Updated: ".$site_url."";
        $message = "Hello " .$user_info->display_name . "\nYour profile has been updated!\n\nThank you for visiting\n ".$site_url."";
        wp_mail( $to, $subject, $message);
}
add_action( 'profile_update', 'user_profile_update', 10, 2);

 Фрагмент кода проверил, все работает отлично. Письмо отправляется на почту администратору.